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La Hipérbola
La hipérbola como lugar geométrico
En el apartado Secciones cónicas hemos visto que la hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y F', es constante. Es decir
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF-PF' es constante
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF'-PF es constante
Estas dos condiciones se pueden resumir en una: P es un punto de la hipérbola si y sólo si |PF-PF'| es una cantidad constante.
La hipérbola tiene dos ramas: la rama de la derecha cumple que PF'-PF es constante, y la rama de izquierda cumple que PF-PF' es constante
Los elementos fundamentales de la hipérbola
Focos: son los puntos fijos F y F'
Radio vectores de un punto P: son los segmentos PF y PF'
Distancia focal: es la distancia entre los focos F y F'
Eje focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento FF' recibe el nombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos que vamos a llamar
vértices de la hipérbola; los designaremos mediante las letras A y A'. El punto de corte de ambos ejes recibe el nombre de
centro de la hipérbola. Observa que la hipérbola es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje imaginario, así como respecto a su centro.
Relación entre los elementos de la hipérbola
Sabemos que todo punto de la hipérbola cumple que la diferencia de distancias a los focos es constante. Vamos a llamar a dicha constante k.
Entonces tendremos:
Como A es un punto de la hipérbola (rama derecha): AF'-AF = k
==> F'A' + A'A - AF = k
Como A' es un punto de la hipérbola (rama izquierda): A'F-A'F' = k
==> A'A + AF - A'F' = k
Sumando término a término, obtenemos: F'A' + A'A - AF +AA' + AF - A'F' = 2K ==> 2 AA' = 2k ==>AA' = k
Si llamamos "a" a la distancia desde el vértice A al centro de la hipérbola (ó desde A' al centro), entonces AA' = 2a = k
De esta forma llegamos a la conclusión de que k=2a. Es decir: |PF - PF'| =2a siendo "a" la distancia desde A (ó A') al centro de la hipérbola.
Como OF = OF', si hacemos OF = OF' = c, entonces la distancia focal será: FF' = 2c
En todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos. En el triángulo PFF', se tendrá que FF' > PF' - PF ==> 2c > 2a ==> c > a
Como c > a ==> c2 > a2==> c2 - a2 > 0
Por ser este número positivo se le puede llamar b2==> c2 - a2 = b2. Más adelante le daremos un significado a este número b.
Excentricidad de la hipérbola
Se define la excentricidad de le hipérbola de la siguiente forma: e = c/a. Como a < c, se tendrá que e > 1, para la hipérbola . Podemos entonces concluir que la hipérbola es una cónica cuya excentricidad es mayor que 1.
Comparando hipérbolas según su excentricidad
Al dibujar en los mismos ejes, hipérbolas con diferentes excentricidades, siendo a = 5, obtenemos los siguientes gráficos
Se observa entonces el efecto que tiene sobre las hipérbolas el aumento de la excentricidad: cuando más pequeña es la excentricidad, más se cierran las ramas. Si forzamos el razonamiento, una hipérbola de excentricidad 1, se correspondería con dos semirrectas rectas horizontales con origen respectivos en 5 y -5. Al hacer que la excentricidad (e) aumente, las ramas de la hipérbola se abren sobre los ejes. Para e tendiendo a +inf, la hipérbola se corresponderían con dos rectas verticales.
