f(x) = 3x² + 4x - 5
↓
y = 3x²+4x-5
I) Hallando el dominio:
Para hallar el domino, despejamos y en funcion de x:
y= 3x² + 4x - 5
La funcion que nos dan ya esta despejada, "y" en funcion de "x"
Ahora,sabemos que el dominio esta dado por los valores que asume "x" , pero como podemos darnos cuenta, se trata de una funcion polinomica entera, por lo que "x" puede tomar cualquier valor del conjunto de los numeros reales, entonces:
D(f(x)) = |R
**** Por si te piden hallar el Rango: *******
II) Hallando el rango:
Para hallar el rango de la funcion, tenemos que despejar x en funcion de y, entonces:
y= 3x² + 4x - 5
0 = 3x² + 4x -5 -y
0= 3x²+4x + (-5-y)
Aplicamos la formula resolvente, o tambien conocida como formula general:
____________
- 4 +/- √ [4² - 4(3)(-5-y)]
x = ------------------------------------
2(3)
____________
- 4 +/- √ [16 - 12(-5-y)]
x = ------------------------------------
6
Ahora, ya tenemos despejado x en funcion de y, ademá, vemos que "y" se encuentra dentro de la raiz cuadrada, y sabemos que en una raiz de indice par se cumple:
n______
Si n es par:√ a <=> a≥0 , para todo "a" que pertenece a |R
Entonces, de nuestra ecuacion que tenemos, podemos sacar lo siguiente:
____________
- 4 +/- √ [16 - 12(-5-y)]
x = ------------------------------------
6
Entonces, se cumple que:
[16 - 12(-5-y)]≥0
16 +(-12)(-5)+(-12)(-y) ≥0
16 + 60 + 12 y ≥ 0
76 +12y ≥0
12y ≥ -76
y≥-76/12
y≥-19/3
Entonces vemos que : "y" toma todos los valores mayor o igual que -19/3
Por lo que, como el rango son los valores que toma "y", entonces:
R(f(x)) = [-19/3 ; +oo>
