Esfera Inscrita a un Cubo: Es la esfera que es tangente a todas las caras del cubo, y la medida del radio de dicha esfera es la mitad de la medida de la arista del cubo.
Es decir: [tex]r= \frac{a}{2} [/tex] ; donde "r" es el radio de la circunferencia inscrita y "a" es la arista del cubo.
Esfera Circuscrita a un Cubo: Es aquella esfera que pasa por cada vértice del cubo; y la medida del radio de la esfera circunscrita es la mitad de la medida de la diagonal del cubo.
Es decir: [tex]R= \frac{D}{2} [/tex] ; donde R es el radio de la Esfera circunscrita y D es la diagonal del Cubo; ademas se sabe que: [tex]D=a \sqrt{3} [/tex]
Por tanto: [tex]R= \frac{a \sqrt{3} }{2} [/tex]
Por dato: [tex]A_{Ei}=4 \pi r^{2}=4 \pi ( \frac{a}{2})^{2} = 60 [/tex]
Entonces: [tex]4 \pi ( \frac{a}{2})^{2}=4 \pi \frac{a^{2}}{4} = \pi a^{2} = 60[/tex]
Luego: [tex]a^{2}= \frac{60}{ \pi } [/tex]
Nos piden el area de la esfera circunscrita:
[tex]A_{Ec}=4 \pi R^{2}[/tex]
[tex]=4 \pi (\frac{a \sqrt{3} }{2})^{2}[/tex]
[tex]=4 \pi \frac{a^{2}3 }{4}[/tex]
[tex]= 3 \pi a^{2}[/tex] ; pero: [tex]a^{2}= \frac{60}{ \pi }[/tex]
Luego: [tex]A_{Ec}=3 \pi a^{2} = 3 \pi \frac{60}{ \pi }=3(60) = 180[/tex]
Por tanto el area de la esfera circunscrita al cubo es: [tex]A_{Ec}=180[/tex]
