Nos piden hallar el valor de "k" para que la recta: (k-2)x+3y-5=0 sea perpendicular a la recta : 9x+2y=18
ambas rectas tendrán una pendiente por su lado, m y m'
m : pendiente de la recta (k-2)x+3y-5=0
m' : pendiente de la recta 9x+2y=18
para la relación de pendientes perpendiculares se cumple la siguiente ecuación
[tex]m'=\frac{-1}{m}[/tex]
pero antes necesitamos expresar la recta en forma explicita, es decir que tenga estructura:
y=mx+b
siendo:
m= pendiente de la recta
b= ordenada en el origen
así que empezamos...
[tex](k-2)x+3y-5=0-->3y=-(k-2)x+5\\ \\-->y=\frac{-(k-2)x}{3}+\frac{5}{3}\\ \\y=\frac{(2-k)x}{3}+\frac{5}{3}\\ \\asi\ que\ la\ pendiente\ aqui\ seria:\\ \\m=\frac{2-k}{3}[/tex]
vamos con la otra recta
[tex]9x+2y=18-->2y=-9x+18-->y=\frac{-9x}{2}+\frac{18}{2}\\ \\Asi\ que\ la\ pendiente\ de\ esta\ recta\ es:\\ \\m'=\frac{-9}{2}[/tex]
una vez halladas las pendientes calculamos el valor de "k"
[tex]Si\ m'=\frac{-1}{m}\ ,\ entonces\ \frac{-9}{2}=\frac{-1}{\frac{2-k}{3}}[/tex]
[tex]-->\frac{-9}{2}=\frac{-3}{2-k}-->-9(2-k)=2(-3)\\ \\-->-18+9k=-6-->9k=-6+18\\ \\9k=12-->k=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}[/tex]
Asi que:
[tex]k=\frac{4}{3}[/tex]
........
