Repasar conceptos
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3s4x, x2(2zy)3 son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, –1, 3 y 8 (el último término equivale a x2{8(zy)3} y se puede escribir también como 8x2(zy)3.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio, dos términos, binomio y tres términos, trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio.
Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.
Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.
Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado; es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.
Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo.
El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3.
Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.
Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 × 3 × 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
Resolución de ecuaciones
Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a.
Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada.
La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado.
Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita 5x + 6 = 3x + 12 los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro.
El término 3x se puede eliminar del lado derecho mediante sustracción; 3x se ha de restar del lado izquierdo al mismo tiempo:
Después se resta el número 6 de ambos lados:
Para despejar la x en el lado izquierdo se dividen ambos lados de la ecuación por 2:
y la solución es por tanto: x = 3. Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuación original:
Resolución de ecuaciones cuadráticas
Dada una ecuación de segundo grado o cuadrática en su forma general:
ax2 + bx + c = 0
hay diversas posibilidades para resolverla dependiendo de la naturaleza específica de la ecuación en cuestión.
Si la ecuación se puede factorizar, la solución es inmediata. Por ejemplo: x2 – 3x = 10
Primero se escribe la ecuación en su forma general: x2– 3x –10 = 0
que se puede factorizar como: (x – 5) (x + 2) = 0
La igualdad sólo se cumple cuando uno de los factores (x – 5 y x + 2 son los factores) es cero. Para que ello ocurra, x debe ser = 5 (5 – 5 = 0) o x debe ser = –2 (–2 + 2 = 0) . En ese caso, uno cualquiera de los factores multiplicado por cero es igual a cero.
Éstas son las soluciones de la ecuación, que de nuevo se pueden verificar mediante sustitución.
Si a primera vista no se encuentra un modo directo de factorizar la ecuación, puede existir otra alternativa.
Por ejemplo, en la ecuación 4x2 + 12x = 7
la expresión 4x2 + 12x se podría factorizar como un cuadrado perfecto si fuera 4x2 + 12x + 9, que equivale a (2x + 3)2.
Esto se puede conseguir fácilmente sumando 9 al lado izquierdo de la ecuación.
La misma cantidad debe sumarse, por supuesto, al lado derecho:
4x2 + 12x + 9 = 7 + 9
(2x + 3)2 = 16
que se reduce a
o 2x + 3 = +4 y 2x + 3 = –4
pues tiene dos valores.
La primera ecuación da la solución x = 1/2 (restando 3 de ambos lados: 2x = 1, y dividiendo ambos lados por 2: x = 1/2).
La segunda ecuación da x = –7/2.
Ambas soluciones se pueden verificar como antes, sustituyendo los valores en cuestión en la ecuación original.
Esta forma de resolución se suele denominar método del cuadrado perfecto.
En general, cualquier ecuación cuadrática de la forma
ax2 + bx + c = 0
se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática.
Para cualquier ecuación de este tipo las dos soluciones de x están dadas por la fórmula:
Por ejemplo, para encontrar las raíces de
x2 – 4x = –3
primero se pone la ecuación en su forma general:
x2 – 4x + 3 = 0
Para entender lo que sigue, recordemos que x2 es igual a 1x2, y para aplicar la fórmula cuadrática anterior debemos reconocer
a, b y c dentro de esta forma general.
Para ello, hacemos a = 1, b = –4 y c = 3.
