le: pronombre personal, 3º persona, singular
prometió: verbo, simple, indicativo, pretérito perfecto simple.
a: preposición
su: posesivo, 3º persona, singular, neutro
hermano: sustantivo, masculino, singular
que: conjunción, subordinada, completiva
lo: pronombre personal, 3º persona, singular
haría: verbo, simple, indicativo, condicional.
rápidamente: adverbio de modo.
