SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIÓN LINEAL
: La forma general de una ecuación lineal es a11x1 + a12x2 + a13x3
+ . . . + a
1nxn = b1.
SISTEMA DE ECUACIONE S LINEALES
: Un sistema de ecuaciones lineales está
formado por un conjunto de ecuaciones lineales a
i1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi , donde
i = 1, 2, ...,m. La forma general de escribir un sistema de ecuaciones lineales es la
siguiente:
a
11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . . + a1nxn = b1
a
21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . . + a2nxn = b2
a
31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . . + a3nxn = b3
. . . . . .
a
m1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . . + amnxn = bm
En forma abreviada es
Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de
las incógnitas y
b es el vector de los valores independientes.
Un sistema de ecuaciones es
homogéneo si bj = 0, para cada j = 1, 2, . . . m; y es
No homogéneo
si al menos uno de los bj es diferente de cero.
TIPOS DE SOLUCIÓN
: Un sistema puede ser consistente o inconsistente. Es
consistente
cuando tiene solución (única o infinitas). Es inconsistente cuando no
tiene solución.
Un sistema de ecuaciones homogéneo siempre tendrá solución: Única, cuando después
de aplicar eliminación Gaussiana el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas, esta es la solución trivial ( 0, 0, 0, . . . , 0 ); Infinitas, cuando después de
aplicar eliminación Gaussiana el número de ecuaciones es menor que el número de
incógnitas. Un sistema de ecuaciones no homogéneo puede ser consistente o
inconsistente.
REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS
: Un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas representa un conjunto de dos rectas en el plano. Un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas representa un conjunto de tres planos en el espacio.
RELACIÓN SOLUCIÓN - DETERMINANTE - INVERSA
: Un sistema de ecuaciones
lineales Ax = b tendrá solución única si, y sólo si, det(A)
¹ 0. El sistema tendrá infinitas
soluciones o es inconsistente si, y sólo si, det(A) = 0.
Si det(A)
¹ 0 y A-1 es la inversa de A, entonces la solución del sistema Ax = b es x =
A
-1b
.
OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS:
Si en un sistema de ecuaciones Ax=b
se realizan las siguientes operaciones, se obtiene un sistema equivalente, es decir, un
sistema con las mismas soluciones:
1. Multiplicar una ecuación por un escalar k diferente de cero. {kE
m ®modifica(Em)}.
2. Intercambiar dos ecuaciones. {E
m ® En y En ® Em}.
3. Sumar a una ecuación, k veces otra ecuación. {kE
m + En ® modifica(En)}.
